双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求双曲线与椭圆的方程.

问题描述:

双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求双曲线与椭圆的方程.

由共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),
可设椭圆方程为

y2
a2
+
x2
a2−25
=1,双曲线方程为
y2
b2
x2
25−b2
=1

点P(3,4)在椭圆上,
16
a2
+
9
a2−25
=1,a2=40

双曲线的过点P(3,4)的渐近线为y=
4
3
x,分析有
b2
25−b2
=
16
9
,计算可得b2=16
所以椭圆方程为:
y2
40
+
x2
15
=1
;双曲线方程为:
y2
16
x2
9
=1