双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求双曲线与椭圆的方程.
问题描述:
双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求双曲线与椭圆的方程.
答
由共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),
可设椭圆方程为
+y2 a2
=1,双曲线方程为x2
a2−25
−y2 b2
=1,x2 25−b2
点P(3,4)在椭圆上,
+16 a2
=1,a2=40,9
a2−25
双曲线的过点P(3,4)的渐近线为y=
x,分析有4 3
=b2 25−b2
,计算可得b2=1616 9
所以椭圆方程为:
+y2 40
=1;双曲线方程为:x2 15
−y2 16
=1.x2 9