已知圆O：x2+y2=1，直线l：y＝33(x+4)． （1）设圆O与x轴的两交点是F1，F2，若从F1发出的光线经l上的点M反射后过点F2，求以F1，F2为焦点且经过点M的椭圆方程； （2）点P是x轴负半轴上一点，从点
问题描述：
已知圆O：x2+y2=1，直线l：y＝
(x+4)．
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（1）设圆O与x轴的两交点是F1，F2，若从F1发出的光线经l上的点M反射后过点F2，求以F1，F2为焦点且经过点M的椭圆方程；
（2）点P是x轴负半轴上一点，从点P发出的光线经l反射后与圆O相切．若光线从射出经反射到相切经过的路程最短，求点P的坐标．
答
解（1）如图，由光学几何知识可知，点F1关于l的对称点F1′
在过点A（-4，0）且倾斜角为60°的直线l′上．
在△AF2F1′中，椭圆长轴长2a＝MF1+MF2＝
F2＝
F
/1
，
19
又椭圆的半焦距c=1，∴b2＝a2−c2＝
，15 4
∴所求椭圆的方程为
+x2
19 4
＝1；y2
15 4
（2）光线从射出经反射到相切经过的路程最短，即为l′上的点P′到圆O的切线长最短，
由几何知识可知，P′应为过原点O且与l垂直的直线与l′的交点，
这一点又与点P关于l对称，∴AP=AP′=2，故点P的坐标为（-2，0）．