设A是m×n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r,矩阵B=AC的秩为r1,则( )A. r>r1B. r<r1C. r=r1D. r与r1的关系依C而定
问题描述:
设A是m×n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r,矩阵B=AC的秩为r1,则( )
A. r>r1
B. r<r1
C. r=r1
D. r与r1的关系依C而定
答
∵C是n阶可逆矩阵
∴C可以表示成若干个初等矩阵之积,即
C=P1P2…Ps,其中Pi(i=1,2,…,s)均为初等矩阵.
而:B=AC,
∴B=AP1P2…Ps,
即B是A经过s次初等列变换后得到的,又初等变换不改变矩阵的秩
∴r(B)=r(AC)=r(A)=r1
故选:C.
答案解析:此题考查矩阵秩的性质的运用.如果B可逆,则r(AB)=r(A).
考试点:矩阵的秩的性质;可逆矩阵的性质.
知识点:矩阵秩的常用性质,要熟练掌握.常见的有:r(Am×n)≤minm,n;r(AB)≤min{r(A),r(B)};r(A)=r(AT)等.