如果cos2θ+2msinθ-2m-2<0对任意的θ总成立,求常数m的取值范围.

问题描述:

如果cos2θ+2msinθ-2m-2<0对任意的θ总成立,求常数m的取值范围.

设f(θ)=cos2θ+2msinθ-2m-2,
要使f(θ)<0对任意的θ总成立,当且仅当函数y=f(θ)的最大值小于零.
f(θ)=cos2θ+2msinθ-2m-2=1-sin2θ+2msinθ-2m-2=-(sinθ-m)2+m2-2m-1
∴当-1≤m≤1时,函数的最大值为m2-2m-1<0,解得1−

2
<m≤1;
当m≥1时,函数的最大值为f(1)=-2<0
∴m≥1时均成立;
当m≤-1时,函数的最大值为f(-1)=-4m-2<0,m>-
1
2
,矛盾无解.
综上得m的取值范围是m∈(1−
2
,+∞)