设f(x)＝ax+xlnx，g（x）=x3-x2-3．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（3）如果对任意的s，t∈[12，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．
问题描述：
设f(x)＝
+xlnx，g（x）=x3-x2-3．a x
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（3）如果对任意的s，t∈[
，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围． 1 2
答
知识点：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了划归与转化的思想，属于中档题．
（1）当a=2时，f(x)＝2x+xlnx，f′(x)＝−2x2+lnx+1，f（1）=2，f'（1）=-1，所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=-x+3；（4分）（2）存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立等价于：[g（x1）-g（x2）]ma...
答案解析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，最后用直线的斜截式表示即可；
（2）存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立等价于：[g（x1）-g（x2）]max≥M，先求导数，研究函数的极值点，通过比较与端点的大小从而确定出最大值和最小值，从而求出[g（x1）-g（x2）]max，求出M的范围；
（3）当x∈[
，2]时，f(x)＝1 2
+xlnx≥1恒成立等价于a≥x-x2lnx恒成立，令h（x）=x-x2lnx，利用导数研究h（x）的最大值即可求出参数a的范围．a x
考试点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
知识点：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了划归与转化的思想，属于中档题．