设函数f(x)=ax+xlnx,g(x)=x3-x2-3.(I)如果存在x1、x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M;(II)如果对于任意的s、t∈[12,2],都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围..

问题描述:

设函数f(x)=

a
x
+xlnx,g(x)=x3-x2-3.
(I)如果存在x1、x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M;
(II)如果对于任意的s、t∈[
1
2
,2],都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围..

(I)存在x1、x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立等价于g(x)max-g(x)min≥M
∵g(x)=x3-x2-3,∴g′(x)=3x(x−

2
3
)
∴g(x)在(0,
2
3
)上单调递减,在(
2
3
,2)上单调递增
∴g(x)min=g(
2
3
)=-
85
27
,g(x)max=g(2)=1
∴g(x)max-g(x)min=
112
27

∴满足的最大整数M为4;
(II)对于任意的s、t∈[
1
2
,2],都有f(s)≥g(t)成立等价于f(x)≥g(x)max
由(I)知,在[
1
2
,2]上,g(x)max=g(2)=1
∴在[
1
2
,2]上,f(x)=
a
x
+xlnx≥1恒成立,等价于a≥x-x2lnx恒成立
记h(x)=x-x2lnx,则h′(x)=1-2xlnx-x且h′(1)=0
∴当
1
2
<x<1
时,h′(x)>0;当1<x<2时,h′(x)<0
∴函数h(x)在(
1
2
,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,
∴h(x)max=h(1)=1
∴a≥1
答案解析:(I)存在x1、x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立等价于g(x)max-g(x)min≥M;
(II)对于任意的s、t∈[
1
2
,2],都有f(s)≥g(t)成立等价于f(x)≥g(x)max,进一步利用分离参数法,即可求得实数a的取值范围.
考试点:导数在最大值、最小值问题中的应用.
知识点:本题考查导数在研究函数问题中的应用、由不等式恒成立求解参数范围,考查等价转化思想,这种常规的数学思想方法值得研究.