已知二次函数f（x）=ax^2+bx+1,对于任意实数x1,x2(x1≠x2)都有1/2[f(x1)+f(x2)]>f[1/2(x1+x2)]成立,且f(x+2)为偶函数(1)求a取值范围(2)求函数y=f(x)在[a,a+2]上的值域(3)定义区间[m,n]的长度为n-m.是否存在常数a使得函数y=f(x)在区间[a,3]的值域为D,且D的长度为10-a^3.

(1)∵f(x+2)是偶函数,故f(x+2)=f(-x-2)
带入用x+2和-x-2分别替换x,因为是偶函数,则有f(x+2)=a(x+2)^2+b(x+2)+1=a(-x-2)^2-b(x+2)+1
∴b=0 f(x)=ax^2+1
又因为对于任意实数x1,x2(x1≠x2)都有1/2[f(x1)+f(x2)]>f[1/2(x1+x2)]成立
所以f(x)是一个凹函数,则二次求导恒大于零
即f''(x)=2a>0 ∴a＞0
(2)∵f(x)=ax^2+1,其对称轴为y轴.又a＞0
∴f(x)在(0,+∞)上单调增,所以f(a)=a^3+1为最小值,f(a+2)=a^3+4a^2+4a+1为最大值
∴f(x)在[a,a+2]上的值域为[a^3+1,a^3+4a^2+4a+1]
(3)
设存在常数a使且D的长度为10-a^3.
∵f(x)在(0,+∞)上单调增,
∴f(3)=9a^2+1为最大值 f(a)=a^3+1为最小值
值域为最大值-最小值,即9a^2+1-(a^3+1)=9a^2-a^3=10-a^3
解得a=(根号10)/3
综上,a取值范围为{a|a＞0}
f(x)在[a,a+2]上的值域为[a^3+1,a^3+4a^2+4a+1]
a=(根号10)/3时使函数y=f(x)在区间[a,3]的值域D的长度为10-a^3
有不明白可以提出吧..