已知函数f（x）=ax-（2a-1）lnx+b （1）若f（x）在x=1处的切线方程为y=x，求实数a，b的值； （2）当a＞1/2时，研究f（x）的单调性； （3）当a=1时，f（x）在区间（1/e，e）上恰有一个零点，求实数
问题描述：
已知函数f（x）=ax-（2a-1）lnx+b
（1）若f（x）在x=1处的切线方程为y=x，求实数a，b的值；
（2）当a＞
时，研究f（x）的单调性；1 2
（3）当a=1时，f（x）在区间（
，e）上恰有一个零点，求实数b的取值范围． 1 e
答
（1）∵f′（x）=a-
，2a−1 x
∴k=f′（1）=a-2a+1=1，解得：a=0，
∵f（1）=ln1+b=1，解得：b=1，
∴a=0，b=1；
（2）∵f′（x）=
，且a＞ax−(2a−1) x
，1 2
令f′x）＞0，解得：x＞2-
，1 a
令f′x）＜0，解得：0＜x＜2-
，1 a
∴f（x）在（0，2-
）递减，在（2-1 a
，+∞）递增；1 a
（3）a=1时，f（x）=x-lnx+b，
∴f′（x）=1-
，1 x
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（
，1）递减，在（1，e）递增，1 e
若f（x）在区间（
，e）上恰有一个零点，1 e
∴
，或
f(
)＞01 e f(e)＜0
，或f（1）=0，
f(
)＜01 e f(e)＞0
解得：1-e＜b＜1-
，1 e
∴实数b的取值范围是（1-e，1-
）．1 e