已知函数f（x）=lnx-a/x．（1）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性；（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为3/2，求a的值．

问题描述：

已知函数f（x）=lnx-

．
（1）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为

，求a的值．

答

（1）函数的定义域为（0，+∞），且f′（x）=

x+a

∵a＞0，∴f′（x）＞0
∴f（x）在定义域上单调递增；
（2）由（1）知，f′（x）=

x+a

①若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数
∵f（x）在[1，e]上的最小值为

，
∴f（x）_min=f（1）=-a=

，
∴a=-

（舍去）
②若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，
∴f（x）_min=f（e）=1-

，∴a=-

（舍去）．
③若-e＜a＜-1，令f′（x）=0，得x=-a．
当1＜x＜-a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上为减函数；
当-a＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上为增函数，
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=

，∴a=-

．
综上可知：a=-

．

已知函数f（x）=lnx-a/x． （1）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性； （2）若f（x）在[1，e]上的最小值为3/2，求a的值．