已知函数f（x）=xlnx+（a-1）x（a∈R）． （1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间[1/e，e]上的最小值； （3）若关于x的方程f（x）=2x3-3x2在区间[1/2，2]上有两个
问题描述：
已知函数f（x）=xlnx+（a-1）x（a∈R）．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[
，e]上的最小值；1 e
（3）若关于x的方程f（x）=2x3-3x2在区间[
，2]上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围． 1 2
答
（1）当a=1时，f（x）=xlnx，则求导函数，可得f′（x）=lnx+1．
x=1时，f′（1）=1，f（1）=0，
∴曲线y=xlnx在点x=1处的切线方程是y=x-1，即x-y-1=0
（2）f′（x）=lnx+a=0，可得x=e-a，则函数在（0，e-a）上单调递减，在（e-a，+∞）上单调递增，
若e＜e-a，则函数f（x）在区间[
，e]上的最小值为f（e）=ae；1 e
若
≤e-a≤e，则函数f（x）在区间[1 e
，e]上的最小值为f（e-a）=-e-a；1 e
若
＞e-a，则函数f（x）在区间[1 e
，e]上的最小值为f（1 e
）=1 e
；a e
（3）f（x）=2x3-3x2等价于xlnx+（a-1）x=2x3-3x2，即lnx+（a-1）=2x2-3x，
∴a=2x2-3x+1-lnx在区间[
，2]上有两个不相等的实数根，1 2
令g（x）=2x2-3x+1-lnx，则g′（x）=4x-3-
=1 x
(4x+1)(x−1) x
∵x∈[
，2]，1 2
∴函数在[
，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，1 2
∵g（
）=ln2，g（1）=0，g（2）=3-ln2，1 2
∴a=2x2-3x+1-lnx在区间[
，2]上有两个不相等的实数根，应满足0＜a≤ln2．1 2