设函数f（x）=ax+2，g（x）=a2x2-lnx+2，其中a∈R，x＞0．是否存在负数a，使f（x）≤g（x）对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
问题描述：
设函数f（x）=ax+2，g（x）=a2x2-lnx+2，其中a∈R，x＞0．是否存在负数a，使f（x）≤g（x）对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
答
设函数h（x）=f（x）-g（x）=ax+lnx-a2x2（x＞0）
假设存在负数a，使得f（x）≤g（x）对一切正数x都成立．
即：当x＞0时，h（x）的最大值小于等于零．
h′(x)＝a+
−2a2x＝1 x
(x＞0)（9分）−2a2x2+ax+1 x
令h′（x）=0可得：x2＝−
，x1＝1 2a
（舍）（11分）1 a
当0＜x＜−
时，h′（x）＞0，h（x）单增；1 2a
当x＞−
时，h′（x）＜0，h（x）单减，1 2a
所以h（x）在x＝−
处有极大值，也是最大值．1 2a
∴h(x)max＝h(−
)≤0解得：a≤−1 2a
e−1 2
（13分）3 4
所以负数a存在，它的取值范围为a≤−
e−1 2
（14分）3 4