数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2an-3n．（1）设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数列，并求出{an}的通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和．
问题描述：
数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2an-3n．
（1）设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数列，并求出{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和．
答
（1）∵Sn=2an-3n，对于任意的正整数都成立，
∴Sn+1=2an+1-3n-3，
两式相减，得a n+1=2an+1-2an-3，即an+1=2an+3，
∴an+1+3=2（an+3），
所以数列{bn}是以2为公比的等比数列，
由已知条件得：S1=2a1-3，a1=3．
∴首项b1=a1+3=6，公比q=2，
∴an=6•2n-1-3=3•2n-3．
（2）∵nan=3×n•2n-3n
∴Sn=3（1•2+2•22+3•23+…+n•2n）-3（1+2+3+…+n），
2Sn=3（1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1）-6（1+2+3+…+n），
∴-Sn=3（2+22+23+…+2n-n•2n+1）+3（1+2+3+…+n）
=3×
-6n•2n+2(2n-1) 2-1
3n(n+1) 2
∴Sn=(6n-6)•2n+6-
3n(n+1) 2