已知:△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,AB=BC,AD=DE,按图1放置,使点E在BC上,取CE的中点F,连接DF、BF. (1)探索DF、BF的数量关系和位置关系,并证明; (2)将图1中△ADE

问题描述:

已知:△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,AB=BC,AD=DE,按图1放置,使点E在BC上,取CE的中点F,连接DF、BF.

(1)探索DF、BF的数量关系和位置关系,并证明;
(2)将图1中△ADE绕A点顺时针旋转45°,再连接CE,取CE的中点F(如图2),问(1)中的结论是否仍然成立?证明你的结论;
(3)将图1中△ADE绕A点转动任意角度(旋转角在0°到90°之间),再连接CE,取CE的中点F(如图3),问(1)中的结论是否仍然成立?证明你的结论.

(1)DF=BF且DF⊥BF.(1分)
证明:如图1:
∵∠ABC=∠ADE=90°,AB=BC,AD=DE,
∴∠CDE=90°,∠AED=∠ACB=45°,
∵F为CE的中点,
∴DF=EF=CF=BF,
∴DF=BF;(2分)
∴∠DFE=2∠DCF,∠BFE=2∠BCF,
∴∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°,
即:∠DFB=90°,
∴DF⊥BF.(3分)
(2)仍然成立.
证明:如图2,延长DF交BC于点G,
∵∠ABC=∠ADE=90°,
∴DE∥BC,
∴∠DEF=∠GCF,
又∵EF=CF,∠DFE=∠GFC,
∴△DEF≌△GCF,
∴DE=CG,DF=FG,(4分)
∵AD=DE,AB=BC,
∴AD=CG,
∴BD=BG,(5分)
又∵∠ABC=90°,
∴DF=BF且DF⊥BF.(6分)
(3)仍然成立.证明:如图3,延长BF至点G,使FG=BF,连接DB、DG、GE,
在△EFG与△CFB中,

FG=BF
∠EFG=∠CFB
EF=CF

∴△EFG≌△CFB,
∴EG=CB,∠EGF=∠CBF,
∴EG∥CB,
∵AB=BC,AB⊥CB,
∴EG=AB,EG⊥AB,
∵∠ADE=90°,EG⊥AB,
又∵∠AED=∠DAE,
∴∠DAB=∠DEG,
在△DAB和△DEG中,
AD=DE
∠DAB=∠DEG
AB=EG

∴△DAB≌△DEG(SAS),
∴DG=DB,∠ADB=∠EDG,(7分)
∴∠BDG=∠ADE=90°,
∴△BGD为等腰直角三角形,
∴DF=BF且DF⊥BF.(8分)