已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF,按图①放置,使点F在BC上,取DF的中点G,连接EG、CG.(1)探索EG、CG的数量关系,并说明理由;(2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°得图②,连接DF,取DF的中点G,问(1)中的结论是否成立,并说明理由;(3)将图①中△BEF绕B点转动任意角度(旋转角在0°到90°之间)得图③,连接DF,取DF的中点G,问(1)中的结论是否成立,请说明理由.

问题描述:

已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF,按图①放置,使点F在BC上,取DF的中点G,连接EG、CG.

(1)探索EG、CG的数量关系,并说明理由;
(2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°得图②,连接DF,取DF的中点G,问(1)中的结论是否成立,并说明理由;
(3)将图①中△BEF绕B点转动任意角度(旋转角在0°到90°之间)得图③,连接DF,取DF的中点G,问(1)中的结论是否成立,请说明理由.

(1)EG=CG.
证明:∵∠DEF=∠DCF=90°,DG=GF,∴EG=

1
2
DF=CG.
(2)(1)中结论成立,即EG=CG.
证明:过点F作BC的平行线,交DC的延长线于点M,连接MG.
∴EF=CM,易证四边形EFMC为矩形.
∴∠EFG=∠GDM.
在直角三角形FMD中,DG=GF,
∴FG=GM=GD.
∴∠GMD=∠GDM.∴∠EFG=∠GMD.
∴△EFG≌△CMG.∴EG=CG.
(3)成立.证明:取BF的中点H,连接EH,GH,取BD的中点O,连接OG,OC.
∵OB=OD,∠DCB=90°,
CO=
1
2
BD

∵DG=GF,BH=HF,OD=OB,
∴GH∥BO,且GH=
1
2
BD
;OG∥BF,且OG=
1
2
BF

∴CO=GH.
∵△BEF为等腰直角三角形,∴EH=
1
2
BF
.∴EH=OG.
∵四边形OBHG为平行四边形,
∴∠BOG=∠BHG.
∵∠BOC=∠BHE=90°,
∴∠GOC=∠EHG.
∴△GOC≌△EHG.∴EG=GC.
答案解析:(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求证;
(2)过点F作BC的平行线,交DC的延长线于点M,连接MG,则四边形EFMC为矩形,可以证△EFG≌△CMG,据此即可证得;
(3)取BF的中点H,连接EH,GH,取BD的中点O,连接OG,OC.可以证得△BEF为等腰直角三角形,再根据平行四边形的性质即可证得△GOC≌△EHG,即可求证.
考试点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;正方形的性质.
知识点:本题主要考查了图形的旋转以及正方形的性质,把证线段相等的问题转化为三角形全等的问题是解题的关键.