已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM．（1）如图1，当点D、E分别在AC、AB上时，请判断△BMD的形状．（2）如图2，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，探究BD与BM的数量关系，并给出证明．（3）如图3，点D不在AB上，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．

答

（1）△BMD是等腰三角形，
理由是：∵∠ABC=∠ADE=90°，
∴∠EDC=90°，
∵点M是CE的中点，
∴BM=

1

2

CE，DM=

1

2

CE，
∴BM=DM，
∴△BMD是等腰三角形；
（2）BD=

2

BM，
证明：∵∠ABC=∠ADE=90°，
∴ED∥BC，
∴∠DEM=∠MCB，
在△EMD和△CMN中

∠DEM＝∠NCM EM＝CM ∠EMD＝∠NMC

∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE=DA，MN=MD，
∵BA=BC，
∴BD=BN，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM，∠DBM=

1

2

∠DBN=45°=∠BDM，
∴△BMD为等腰直角三角形．
∴BD=

2

BM；

（3）结论成立．
证明：过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，
可证得△MDE≌△MFC，
∴DM=FM，DE=FC，
∴AD=ED=FC，
作AN⊥EC于点N，
由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，
可证得∠DEN=∠DAN，∠NAB=∠BCM，
∵CF∥ED，
∴∠DEN=∠FCM，
∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD，
∴△BCF≌△BAD，
∴BF=BD，∠DBA=∠CBF，
∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∵点M是DF的中点，
则△BMD是等腰直角三角形，
∴BD=

2

BM．
答案解析：（1）根据直角三角形的性质得出BM=DM=

1

2

CE，即可得出答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知BD=

2

BM，
（3）先证明△MDE≌△MFC，得出AD=ED=FC，再作AN⊥EC于点N，证出△DBF是等腰直角三角形，根据点M是DF的中点，得出△BMD是等腰直角三角形，即可得出BD=

2

BM．
考试点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
知识点：本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质的应用，在本题中需要作辅助线来证明，难度较大．