已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连接EC，取EC的中点M，连接DM和BM． （1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，探索BM、DM的关系并给予证明； （2）如果将图1中的△
问题描述：
已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连接EC，取EC的中点M，连接DM和BM．
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，探索BM、DM的关系并给予证明；
（2）如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
答
（1）BM=DM，BM⊥DM，
在Rt△EBC中，M是斜边EC的中点，
∴BM=
EC=EM=MC，1 2
∴∠EMB=2∠ECB．
在Rt△EDC中，M是斜边EC的中点，
∴DM=
EC=EM=MC．1 2
∴∠EMD=2∠ECD．
∴BM=DM，∠EMD+∠EMB=2（∠ECD+∠ECB），
∵∠ECD+∠ECB=∠ACB=45°，
∴∠BMD=2∠ACB=90°，即BM⊥DM．
（2）：（1）中的结论仍成立，
延长DM至点F，使得DM=MF，连接CD和EF，连接BD，连接BF、FC，延长ED交AC于点H．
∵DM=MF，EM=MC，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，ED=CF，
∵ED=AD，
∴AD=CF．
∵DE∥CF，
∴∠AHE=∠ACF．
∵∠BAD=45°-∠DAH=45°-（90°-∠AHE）=∠AHE-45°，∠BCF=∠ACF-45°，
∴∠BAD=∠BCF．
又∵AB=BC，
∴△ABD≌△CBF，
∴BD=BF，∠ABD=∠CBF，
∵∠ABD+∠DBC=∠CBF+∠DBC，
∴∠DBF=∠ABC=90°．
在Rt△DBF中，由BD=BF，DM=MF，得BM=DM且BM⊥DM．