如图,点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形,当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小?

问题描述:

如图,点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形,当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小?

设正方形ABCD的边长为a,AE=x,则BE=a-x,
∵四边形EFGH是正方形,
∴EH=EF,∠HEF=90°,
∴∠AEH+∠BEF=90°,
∵∠AEH+∠AHE=90°,
∴∠AHE=∠BEF,
在△AHE和△BEF中,

∠A=∠B=90°
∠AHE=∠BEF
EH=EF

∴△AHE≌△BEF(AAS),
同理可证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG,
∴AE=BF=CG=DH=x,AH=BE=CF=DG=a-x
∴EF2=BE2+BF2=(a-x)2+x2=2x2-2ax+a2
∴正方形EFGH的面积S=EF2=2x2-2ax+a2=2(x-
1
2
a)2+
1
2
a2
即:当x=
1
2
a(即E在AB边上的中点)时,正方形EFGH的面积最小,最小的面积为
1
2
a2