已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）． （Ⅰ）设bn=an+1，求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．
问题描述：
已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）．
（Ⅰ）设bn=an+1，求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．
答
（Ⅰ）由Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）
得 Sn=2Sn-1+（n-1）+5（n∈N*，n≥2）
两式相减得 an+1=2an+1，
∴an+1+1=2（an+1）
即 bn+1=2bn（n∈N*，n≥2），
又a2=S2-S1=S1+1+5=a1+6=11
∴b2=a2+1=12，b1=a1+1=6
∴b2=2b1．
∴数列{bn}是首项为6，公比为2的等比数列
∴bn＝6•2n−1＝3•2n．
（Ⅱ）法一
由（Ⅰ）知an＝3•2n−1，
∴Sn=a1+a2+…+an=3×2+3×22+…+3•2n-n=3×
−n=6•2n-n-6=3•2n+1-n-6． 2(2n−1) 2−1
（Ⅱ）法二
由已知Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）①
设Sn+1+c（n+1）+d=2（Sn+cn+d）
整理得 Sn+1=2Sn+cn+d-c②
对照①、②，得 c=1，d=6，
即①等价于 Sn+1+（n+1）+6=2（Sn+n+6）
∴数列{Sn+n+6}是等比数列，首项为S1+1+6=a1+1+6=12，公比为q=2
∴Sn+n+6＝12•2n−1＝3•2n+1
∴Sn＝3•2n+1−n−6．