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已知二次函数f（x）=ax2+（2a-1）x+1在区间[−3/2，2]上的最大值为3，求实数a的值．

分类: 作业答案 • 2021-12-03 17:02:20
问题描述：

已知二次函数f（x）=ax2+（2a-1）x+1在区间[−

3
2
，2]上的最大值为3，求实数a的值．

答

因为二次函数f（x）在区间[−

3
2
，2]上的最大值为3，
所以必有f(−
2a−1
2a
)＝3，或f（2）=3，或f(−
3
2
)＝3．
（1）若f(−
2a−1
2a
)＝3，即1-
(2a−1)2
4a
=3，解得a＝−
1
2
，
此时抛物线开口向下，对称轴方程为x=-2，且−2∉[−
3
2
，2]，
故a=−
1
2
不合题意；
（2）若f（2）=3，即4a+2（2a-1）+1=3，解得a＝
1
2
，
此时抛物线开口向上，对称轴方程为x=0，闭区间的右端点距离对称轴较远，
故a＝
1
2
符合题意；
（3）若f(−
3
2
)＝3，即
9
4
a−
3
2
(2a−1)+1=3，解得a＝−
2
3
，
此时抛物线开口向下，对称轴方程为x=
7
4
，闭区间的左端点距离对称轴较远，故a＝−
2
3
符合题意．
综上，a＝
1
2
或a＝−
2
3
．

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