已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）的顶点在直线y=-1/2x-1上，且过点A（4，0）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为P，是否在抛物线上存在一点B，使四边形OPAB为梯形？若存在，求出
问题描述：
已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）的顶点在直线y=-
x-1上，且过点A（4，0）．1 2
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为P，是否在抛物线上存在一点B，使四边形OPAB为梯形？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点C（1，-3），请在抛物线的对称轴确定一点D，使|AD-CD|的值最大，请直接写出点D的坐标．
答
（1）∵抛物线过点（0，0）、（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
∵顶点在直线y=-
x-1上，1 2
∴顶点坐标为（2，-2）．
故设抛物线解析式为y=a（x-2）2-2，
∵过点（0，0），
∴a=
，1 2
∴抛物线解析式为y=
x2-2x；1 2
（2）当AP∥OB时，
如图，∠BOA=∠OAP=45°，过点B作BH⊥x轴于H，则OH=BH．
设点B（x，x），
故x=
x2-2x，1 2
解得x=6或x=0（舍去）
∴B（6，6）．
当OP∥AB′时，同理设点B′（4-y，y）
故y=
(4-y)2-2(4-y)，1 2
解得y=6或y=0（舍去），
∴B′（-2，6）；
∴B的坐标为（6，6）或（-2，6）．
（3）D坐标应是（2，-6）．