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在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a2+c2−b2＝1/2ac．（Ⅰ）求sin2A+C/2+cos2B的值；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．

分类: 作业答案 • 2021-12-03 13:57:23

问题描述：

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a2+c2−b2＝

1

2

ac．
（Ⅰ）求sin2

A+C

2

+cos2B的值；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．

答

（Ⅰ）由余弦定理：cosB＝

1

4

sin2

A+C

2

+cos2B＝sin2(

π

2

−

B

2

)+2cos2B−1
=cos2

B

2

+2cos2B−1
=

1+cosB

2

+2cos2B−1
=−

1

4

（Ⅱ）由cosB=

1

4

，得sinB=

15

4

．
∵b=2，a2+c2−b2＝

1

2

ac
∴a2+c2＝

1

2

ac+b2＝

1

2

ac+4≥2ac，从而ac≤

8

3

故S△ABC＝

1

2

acsinB≤

15

3

（当且仅当a=c时取等号）