已知,M是△ABC内的一点,MD⊥BC,ME⊥AC,MF⊥AB,且BD=BF,CD=CE,求证:AE=AF.

问题描述:

已知,M是△ABC内的一点,MD⊥BC,ME⊥AC,MF⊥AB,且BD=BF,CD=CE,求证:AE=AF.

证明:如图,设MD、ME、MF分别交BC,AC,AB于P,Q,R.连接MA,MB,MC.
∵MD⊥BC,ME⊥AC,MF⊥AB,
∴由勾股定理MB2=MP2+BP2=MR2+BR2
BD2=MP2+PD2=BF2=BR2+FR2
CM2=CP2++MP2=CQ2+MQ2
CD2=PD2+PC2=CF2=CQ2+QF2
MA2=MQ2+AQ2=AR2+MR2
由①②③④⑤可得
AQ2+MQ2=AR2+FR2,即AE2=AF2
∴AE=AF.