过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线FM,垂足为M,并且交y轴于E,若M为EF的中点,则该双曲线的离心率为(  ) A.2 B.3 C.3 D.2

问题描述:

过双曲线

x2
a2
y2
b2
=1(a>0,b>0)的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线FM,垂足为M,并且交y轴于E,若M为EF的中点,则该双曲线的离心率为(  )
A. 2
B.
3

C. 3
D.
2

如图所示.
取右焦点F(c,0),渐近线y=

b
a
x.
∵FM⊥OM,∴可得直线FM的方程为y=−
a
b
(x−c)

令x=0,解得y=
ac
b
,∴E(0,
ac
b
)

∴线段FE的中点M(
c
2
ac
2b
)

又中点M在渐近线y=
b
a
x
上,∴
ac
2b
b
a
×
c
2
,解得a=b.
∴该双曲线的离心率e=
c
a
1+
b2
a2
=
2

故选D.