过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线FM,垂足为M,并且交y轴于E,若M为EF的中点,则该双曲线的离心率为( ) A.2 B.3 C.3 D.2
问题描述:
过双曲线
−x2 a2
=1(a>0,b>0)的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线FM,垂足为M,并且交y轴于E,若M为EF的中点,则该双曲线的离心率为( )y2 b2
A. 2
B.
3
C. 3
D.
2
答
如图所示.
取右焦点F(c,0),渐近线y=
x.b a
∵FM⊥OM,∴可得直线FM的方程为y=−
(x−c),a b
令x=0,解得y=
,∴E(0,ac b
).ac b
∴线段FE的中点M(
,c 2
),ac 2b
又中点M在渐近线y=
x上,∴b a
=ac 2b
×b a
,解得a=b.c 2
∴该双曲线的离心率e=
=c a
=
1+
b2 a2
.
2
故选D.