如图甲,在正方形ABCD和正方形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,连接DF,且P是线段DF的中点,连接PG,PC. (1)如图甲中,PG与PC的位置关系是_,数量关系是_; (2)如图乙将条件“正方形A
问题描述:
如图甲,在正方形ABCD和正方形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,连接DF,且P是线段DF的中点,连接PG,PC.
(1)如图甲中,PG与PC的位置关系是______,数量关系是______;
(2)如图乙将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变,求证:PG=PC.
答
证明:(1)PG⊥PC,PG=PC;
延长GP交CD于H,
∵P是DF中点,∴DP=FP,
∵点ABE在同一直线上,
∴DC∥GF,
∴∠FDC=∠GFP,
∵在△DPH和△GPF中,
,
∠FDC=∠GFP DP=FP ∠DPH=∠FPG
∴△DPH≌△GPF(ASA)
∴HP=GP,GF=DH,
∴CH=CG,
又∵∠HCG=90°,
∴RT△HCG中,P为HG中点,
∴PC=
GH=PG,PC⊥PG;1 2
(2)延长GP交CD于H,
∵P是DF中点,∴DP=FP,
∵点ABE在同一直线上,
∴DC∥GF,
∴∠FDC=∠GFP
∵在△DPH和△GPF中,
,
∠FDC=∠GFP DP=FP ∠DPH=∠FPG
∠HPD=∠GPF,
∴△DPH≌△GPF(ASA)
∴HP=GP,
又∵∠HCG=90°,
∴RT△HCG中,P为HG中点,
∴PC=
GH=PG,1 2
即:PG=PC.