如图甲,在正方形ABCD和正方形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,连接DF,且P是线段DF的中点,连接PG,PC. (1)如图甲中,PG与PC的位置关系是_,数量关系是_; (2)如图乙将条件“正方形A

问题描述:

如图甲,在正方形ABCD和正方形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,连接DF,且P是线段DF的中点,连接PG,PC.

(1)如图甲中,PG与PC的位置关系是______,数量关系是______;
(2)如图乙将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变,求证:PG=PC.

证明:(1)PG⊥PC,PG=PC;
延长GP交CD于H,

∵P是DF中点,∴DP=FP,
∵点ABE在同一直线上,
∴DC∥GF,
∴∠FDC=∠GFP,
∵在△DPH和△GPF中,

∠FDC=∠GFP
DP=FP
∠DPH=∠FPG

∴△DPH≌△GPF(ASA)
∴HP=GP,GF=DH,
∴CH=CG,
又∵∠HCG=90°,
∴RT△HCG中,P为HG中点,
∴PC=
1
2
GH=PG,PC⊥PG;
(2)延长GP交CD于H,

∵P是DF中点,∴DP=FP,
∵点ABE在同一直线上,
∴DC∥GF,
∴∠FDC=∠GFP
∵在△DPH和△GPF中,
∠FDC=∠GFP
DP=FP
∠DPH=∠FPG

∠HPD=∠GPF,
∴△DPH≌△GPF(ASA)
∴HP=GP,
又∵∠HCG=90°,
∴RT△HCG中,P为HG中点,
∴PC=
1
2
GH=PG,
即:PG=PC.