请阅读下列材料:问题:如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG,PC.若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG与PC的位置关系及PGPC的值.小聪同学的思路是:延长GP交DC于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:(1)写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PGPC的值;(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明;(3)若图1中∠ABC=∠BEF=2α(0°<α<90°),将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出PGPC的值(用含α的式子表示).

问题描述:

请阅读下列材料:
问题:如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG,PC.若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG与PC的位置关系及

PG
PC
的值.
小聪同学的思路是:延长GP交DC于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及
PG
PC
的值;
(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明;
(3)若图1中∠ABC=∠BEF=2α(0°<α<90°),将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,作业帮原问题中的其他条件不变,请你直接写出
PG
PC
的值(用含α的式子表示).

(1)∵CD∥GF,∠PDH=∠PFG,∠DHP=∠PGF,DP=PF,∴△DPH≌△FGP,∴PH=PG,DH=GF,∵CD=BC,GF=GB=DH,∴CH=CG,∴CP⊥HG,∠ABC=60°,∴∠DCG=120°,∴∠PCG=60°,∴PG:PC=tan60°=3,∴线段PG与PC的位置关...
答案解析:(1)根据题意可知小聪的思路为,通过判定三角形DHP和PGF为全等三角形来得出证明三角形HCG为等腰三角形且P为底边中点的条件;
(2)思路同上,延长GP交AD于点H,连接CH,CG,本题中除了如(1)中证明△GFP≌△HDP(得到P是HG中点)外还需证明△HDC≌△GBC(得出三角形CHG是等腰三角形).
(3)∠ABC=∠BEF=2α(0°<α<90°),那么∠PCG=90°-α,由(1)可知:PG:PC=tan(90°-α).
考试点:菱形的性质;全等三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义.
知识点:本题是一道探究性的几何综合题,主要考查菱形的性质,全等三角形的判定及三角函数的综合运用.