(1)如图(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.猜测DE、BD、CE三条线段之间的数量关系(直接写出结果即可).(2)如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问第(1)题中DE、BD、CE之间的关系是否仍然成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3)拓展与应用:如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断线段DF、EF的数量关系,并说明理由.

问题描述:

(1)如图(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.猜测DE、BD、CE三条线段之间的数量关系(直接写出结果即可).
(2)如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问第(1)题中DE、BD、CE之间的关系是否仍然成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用:如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断线段DF、EF的数量关系,并说明理由.

(1)DE=BD+CE.理由如下:如图1,∵BD⊥l,CE⊥l,∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,∠BAD+∠ABD=90°,∴∠CAE=∠ABD           &...
答案解析:(1)利用已知得出∠CAE=∠ABD,进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE,即可得出DE=BD+CE;
(2)根据∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,得出∠CAE=∠ABD,在△ADB和△CEA中,根据AAS证出△ADB≌△CEA,从而得出AE=BD,AD=CE,即可证出DE=BD+CE;
(3)与前面的结论得到△ADB≌△CEA,则BD=AE,∠DBA=∠CAE,根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°,则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,则∠DBF=∠FAE,
利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF,所以DF=EF,∠BFD=∠AFE,于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形.则
DF=EF.
考试点:全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;等腰直角三角形.
知识点:本题考查了全等三角形的判定与性质:判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”;全等三角形的对应边相等.也考查了等边三角形的判定与性质.