设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右准线l与两条渐近线交于P、Q两点,如果△PQF是直角三角形,则双曲线的离心率e=_.

问题描述:

设双曲线

x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右准线l与两条渐近线交于P、Q两点,如果△PQF是直角三角形,则双曲线的离心率e=______.

依题意可知右准线方程l:x=

a2
c
,渐近线方程y=±
b
a
x,则有P(
a2
c
ab
c
),F(c,0)
由题意|MF|=|MP|,即|c-
a2
c
|=
ab
c
整理得
c2a2
c
ab
c

因为c2-a2=b2,将其代入上式得a=b
所以e=
c
a
=
a2+b2
a2
=
2

故答案为
2