设x1=2,Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)(n=1,2,…),证明数列{Xn}收敛,并求其极限.
问题描述：
设x1=2,Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)(n=1,2,…),证明数列{Xn}收敛,并求其极限.
答
不动点法。令f（x）=（1/2）[x+（1/x）]，x＞0
f'（x）=（1/2）（x²-1）/x²，可知当x＞1时f'（x）＞0，f（x）为增函数
令f（x）＞x，即（1/2）[x+（1/x）]＞x，得0＜x＜1，可知不动点为x=1，x＞1时f（x）＜x
x1=2＞1，于是f（1）＜f（x1）＜x1，
得1＜x2＜x1，同理f（1）＜f（x2）＜x2，即1＜x3＜x2
于是可得1＜x（n+1）＜xn，得xn递减且有下限，即{xn}收敛。于是xn极限存在
令A为xn极限
有A=（1/2）[A+（1/A）]且A≥1
得A=1
答
Xn显然>0
由均值不等式
X(n+1)>=1
X(n+1)-Xn=1/2(1/xn-xn)Xn递减且有下界，收敛
设limXn=a>0
由Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)
a=1/2(a+1/a)
=>a=1
希望对你有帮助！
答
先用数归证1