已知数列{Xn}满足x1=1/2,xn+1=1/(1+xn),n∈N+,证明:|xn+1-xn|≤1/6*(2/5)^n-1
问题描述:
已知数列{Xn}满足x1=1/2,xn+1=1/(1+xn),n∈N+,证明:|xn+1-xn|≤1/6*(2/5)^n-1
答
当n=1时|X2-X1|=1/6成立 当n≥2时易知0<Xn-1<1所以1+Xn-1<2所以Xn=1/(1+Xn-1)>1/2 又有|Xn+1-Xn|=|1/(1+Xn)-1/(1+Xn-1)|=|Xn-Xn-1|/[(1+Xn)*(1+Xn-1)]又有注意到(1+Xn)*(1+Xn-1)=[1+1/(1+Xn-1)]...