设xn=1/1^2+1/2^2+...+1/n^2,证明数列{xn}有极限.请大家知道一二

问题描述:

设xn=1/1^2+1/2^2+...+1/n^2,证明数列{xn}有极限.
请大家知道一二

夹逼法
1/1²+1/(1×2) + 1/(2×3)+……+1/(n-1)n>x(n)>1/(1×2) + 1/(2×3)+……+1/n(n+1)
1+1-1/2+1/2-1/3+……+1/(n-1)-1/n>x(n)>1-1/2+……+1/n-1/(n+1)
2 - 1/n>x(n)>1-1/(n+1)
数列2-1/n的极限是2
1-1/(n+1)的极限是1
所以x(n)必有极限

将1/n^2缩放为1/n^2则xn同样缩放1/n^2>1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1) 得xn>2-1/(n+1)
夹逼定理xn有极限 为2

xn=1/1^2+1/2^2+...+1/n^2
xn>x(n-1)递增
xn=1/1^2+1/2^2+...+1/n^2