长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面为正方形,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC,证明：A1C垂直平面BED
问题描述：
长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面为正方形,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC,证明：A1C垂直平面BED
答
连AC,BD交于点M,ME为平面ACC1A1与平面BDE的交线,设A1C过平面DEB交于点F则F必在交线ME上
（平面ACD与直线BD）
∵AC⊥BD,AA1⊥平面ABCD=>AA1⊥BD
AA1∩AC=A
∴BD⊥平面AA1C ∴BD⊥A1C
（平面ACC1A1内,RT△MCE与RT△AA1C）
CE：AC=1：2√2=CM：AA1=√2:4
所以△MCE∽△AA1C=>∠CME=∠AA1C ∠MEC=∠CME
所以∠CFM=∠CAA1=90°即A1C⊥ME
BD∩ME=M所以A1C⊥平面BDE