E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA的中点,若对角线BD=2,AC=4,则EG2+HF2的值为_.
问题描述:
E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA的中点,若对角线BD=2,AC=4,则EG2+HF2的值为______.
答
依次连接EF、FG、GH、HE
∵E是AB中点,H是AD中点,∴EH∥BD,且EH=BD=1,
同理:FG∥BD,FG=BD=1,∴EH∥FG,EH=FG,
同理,EF∥HG,EF=HG,
∴四边形EFGH为边长为1、2的平行四边形,
设∠EHG=θ,那么∠HEF=180°-θ,
在△EHG中,由余弦定理有:
EG2=EH2+HG2-2×EH×HG×cosθ=1+4-4cosθ=5-4cosθ,
在△EFH中,由余弦定理有:
FH2=EF2+EH2-2×EF×EH×cos(180°-θ)=4+1-4cos(180°-θ)=5+4cosθ,
上述两式相加,得到:
EG2+FH2=5-4cosθ+5+4cosθ=10.
故答案为:10.