已知ABCD是空间四边形形,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,如果对角线AC=4,BD=2,那么EG2+HF2的值等于(  ) A.10 B.15 C.20 D.25

问题描述:

已知ABCD是空间四边形形,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,如果对角线AC=4,BD=2,那么EG2+HF2的值等于(  )
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25

如下图所示
依次连接EF、FG、GH、HE
∵E是AB中点,H是AD中点,
∴EH∥BD,且EH=

1
2
BD=1
同理:
FG∥BD,FG=
1
2
BD=1
所以,EH∥FG,EH=FG
同理,EF∥HG,EF=HG
所以,四边形EFGH为边长为1、2的平行四边形
设∠EHG=θ,那么∠HEF=180°-θ
在△EHG中,由余弦定理有:
EG2=EH2+HG2-2×EH×HG×cosθ=1+4-4cosθ=5-4cosθ
在△EFH中,由余弦定理有:
FH2=EF2+EH2-2×EF×EH×cos(180°-θ)=4+1-4cos(180°-θ)=5+4cosθ
上述两式相加,得到:
EG2+FH2=5-4cosθ+5+4cosθ=10
故选A