如图,在四面体ABCD中,截面EFGH平行于对棱AB和CD,且FG⊥GH,试问截面在什么位置时其截面面积最大.

问题描述:

如图,在四面体ABCD中,截面EFGH平行于对棱AB和CD,且FG⊥GH,试问截面在什么位置时其截面面积最大.

∵AB∥平面EFGH,平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH,∴AB∥FG,AB∥EH,∴FG∥EH.
同理可证EF∥GH,∴截面EFGH是平行四边形.
设AB=a,CD=b,∠FGH=α (a、b、α均为定值,其中α为AB与CD所成的角).
再设FG=x,GH=y,由平面几何知识得

x
a
CG
CB
  , 
y
b
BG
BC

两式相加得
x
a
+
y
b
=1,即y=
b
a
(a-x).
∴截面面积S=FG•GH•sinα=x•
b
a
(a−x)•sinα
=
bsinα
a
•x•(a−x)

∵x>0,a-x>0,且x+(a-x)=a为定值,∴
bsinα
a
•x•(a−x)
bsinα
a
(
x+a−x
2
2
=
ab•sinα
4

∴当且仅当x=a-x,即x=
a
2
时,取等号,即截面面积最大为S=
ab
4
sinα,
即当E、F、G、H分别为相应棱的中点时,截面面积最大.