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空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD=BC=a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？

分类: 作业答案 • 2022-06-21 12:53:19
问题描述：

空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD=BC=a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H．

（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？

答

证明：（1）∵BC∥平面EFGH，BC⊂平面ABC，平面ABC∩平面EFGH=EF，∴BC∥EF，同理BC∥HC，∴EF∥HG．同理可证EH∥FG，∴四边形EFGH为平行四边形． （2）∵AD与BC成角为60°，∴∠HEF=60°（或120°），设AEAB=x，∵E...
答案解析：（1）证明BC∥EF，EF∥HG．然后证明四边形EFGH为平行四边形．
（2）设

AE
AB
=x，求出EH=（1-x）a．推出S四边形EFGH=EF•EH•sin60°=
 3
8
a2．推出E为AB的中点时，截面EFGH的面积最大为
 3
8
a2．
考试点：直线与平面平行的性质；基本不等式；空间中直线与直线之间的位置关系．
知识点：本题考查几何图形的证明与判定，几何体体积的求法，考查计算能力．

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