设函数f（x）在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且∫(a,b)f(x)dx=f(b)(b-a).证明：在(a,b)内至少存在...设函数f（x）在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且∫(a,b)f(x)dx=f(b)(b-a).证明：在(a,b)内至少存在一点ζ,使f'(ζ)=0参考。貌似老师说是先用积分中值定理再用罗尔定理。
问题描述：
设函数f（x）在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且∫(a,b)f(x)dx=f(b)(b-a).证明：在(a,b)内至少存在...
设函数f（x）在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且∫(a,b)f(x)dx=f(b)(b-a).证明：在(a,b)内至少存在一点ζ,使f'(ζ)=0
参考。貌似老师说是先用积分中值定理再用罗尔定理。
答
∫(a,b)f(x)dx=F(b)-F(b)因此∫(a,b)f(x)dx=f(b)(b-a)[F(b)-F(a)]/(b-a)=f(b)由拉克朗日定理,存在ξ使：[F(b)-F(a)]/(b-a)=f(ξ)ξ∈(a,b)b>ξ>a=>f(ξ)=f(b)由l罗尔定理,存在ζ∈(ξ,b)使f′(ζ)=0ζ∈(ξ,b)=>ζ∈...