f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(b)=f(a)=1,证明:存在ε,η∈(a,b),使e^(η-ε)(f(η)+f'(η)=1

令F(x)=e^x * f(x)
则F在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F'(x)=e^x * [f(x)+f'(x)]
且F(a)=e^a, F(b)=e^b
所以有Lagrange中值定理，存在η∈(a,b),使F'(η)=[F(b)-F(a)]/(b-a)
即e^η * [f(η)+f'(η)]=(e^b-e^a)/(b-a)
再对等号右边用一下中值定理，存在ε∈(a,b),使得e^ε=(e^b-e^a)/(b-a) (令g(x)=e^x，中值定理)
所以存在ε,η∈(a,b),使e^η * (f(η)+f'(η)=e^ε
即存在ε,η∈(a,b),使e^(η-ε)(f(η)+f'(η)=1

左式=(e∧ηf(η)＋e∧ηf’(η))/e∧ε
令g(x)=e∧xf(x) h(x)=e∧x
由柯西中值定理得，存在一点η
使g’(η)/h’(η)=g(b)－g(a)/h(b)－h(a)=1
即(e∧ηf(η)＋e∧ηf’(η))/e∧η=1
所以存在η=ε 使等式成立

设g(x)=f(x)e^x
利用中值定理,存在η∈(a,b),使得
g'(η) = g(b)-g(a))/(b-a)
即：
e^η(f(η)+f'(η))=（e^b - e^a)/(b-a)
又,对h(x)=e^x 用中值定理,得：
存在ε∈(a,b),使得
e^ε = h'(ε) = h(b)-h(a))/(b-a)=（e^b - e^a)/(b-a)
==>e^η(f(η)+f'(η))= e^ε
即：e^(η-ε)(f(η)+f'(η)=1