已知函数f(x)对任意实数x,y,总有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)成立,求证f(x)为偶函数
问题描述：
已知函数f(x)对任意实数x,y,总有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)成立,求证f(x)为偶函数
答
根据上式有：
f(-x)=f(0-x)=2f(0)f(x)-f(0+x);
f(x)=f(x-0)=2f(x)f(0)-f(x+0);
故f(-x)=f(x),f(x)为偶函数。
答
设y=0
f(x)+f(x)=2f(x)f(0)
所以：f(0)=1
令x=0
f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)
即f(y)+f(-y)=2f(y)
所以f(-y)=f(y)
也有f(x)=f(-x)
所以f(x)是偶函数。
答
首先令y=0代入得 f（x）+f（x）=2f（x）f（0）
得f（0）=1
则令x=0代入
得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）
由于f（0）=1
所以f（y）+f（-y）=2f（y）
所以f（-y）=f（y）
对于任意实数都有f（-y）=f（y）
所以函数为偶函数.