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圆x2+y2+x-6y+3=0上两点P、Q满足 ①关于直线kx-y+4=0对称，②OP⊥OQ．（1）求k值；                  （2）求直线PQ的方程．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 17:36:05
问题描述：

圆x2+y2+x-6y+3=0上两点P、Q满足 ①关于直线kx-y+4=0对称，②OP⊥OQ．
（1）求k值；                  
（2）求直线PQ的方程．

答

（1）曲线x2+y2+x-6y+3=0可变为：(x+

1
2
)2+(y-3)2=(
5
2
)2
得到圆心（-
1
2
，3），半径为
5
2
；
因为圆上有两点P、Q关于直线对称，得到圆心在直线上，
把（-
1
2
，3）代入到kx-y+4=0中求出k=2
（2）直线PQ的斜率=
-1
k
=-
1
2
；设PQ方程为y=-
1
2
x+b
联立得
x2+y2+x-6y+3=0
y=-
1
2
x+b
，代入整理得
5
4
x2+(4-b)x+b2-6b+3=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∵OP⊥OQ．∴x1x2+y1y2=0
∴
5
4
x1x2-
b
2
(x1+x2)+b2=0
∴b2- 6b+3-
2
5
(b2-4b )+b2=0
∴b=
3
2
或b=
5
4

所以直线PQ的方程为：y=-
1
2
x+
3
2
或y=-
1
2
x+
5
4
，经验证符合题意．
答案解析：（1）因为曲线方程为圆的方程，圆上的P与Q关于直线对称得到直线过圆心，把圆心坐标代入即可求出k；（2）又因为PQ⊥直线kx-y+4=0得到直线PQ的斜率为−1k，然后联立直线与圆的方程，利用OP⊥OQ．∴x1x2+y1y2=0，再借助于韦达定理，即可写出直线的方程．
考试点：关于点、直线对称的圆的方程．
知识点：本题的考点是关于点、直线对称的圆的方程，主要考查考查学生理解圆的对称轴为过直径的直线，会根据两直线垂直得到斜率乘积为-1，会根据条件写出直线的一般式方程．注意条件的等价转化．

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