设O为坐标原点,曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q,满足关于直线x+my+4=0对称,又满足OP•OQ=0.(1)求m的值;(2)求直线PQ的方程.

问题描述:

设O为坐标原点,曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q,满足关于直线x+my+4=0对称,又满足

OP
OQ
=0.
(1)求m的值;
(2)求直线PQ的方程.

(1)曲线方程为(x+1)2+(y-3)2=9表示圆心为(-1,3),半径为3的圆.
∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称,
∴圆心(-1,3)在直线上.代入得m=-1.
(2)∵直线PQ与直线y=x+4垂直,
∴设P(x1,y1)、Q(x2,y2),PQ方程为y=-x+b.
将直线y=-x+b代入圆方程,得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0.
△=4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)>0,得2-3

2
<b<2+3
2

由韦达定理得x1+x2=-(4-b),x1•x2=
b2−6b+1
2

y1•y2=b2-b(x1+x2)+x1•x2=
b2−6b+1
2
+4b.
OP
OQ
=0,∴x1x2+y1y2=0,
即b2-6b+1+4b=0.
解得b=1∈(2-3
2
,2+3
2
).
∴所求的直线方程为y=-x+1.
答案解析:(1)曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q,满足关于直线x+my+4=0对称,说明曲线是圆,直线过圆心,易求m的值;
(2)设P(x1,y1)、Q(x2,y2),PQ方程为y=-x+b.联立方程组,结合韦达定理,以及
OP
OQ
=0. 求得k的方程,然后求直线PQ的方程.
考试点:直线的一般式方程;直线和圆的方程的应用.

知识点:本题考查直线与圆的方程的应用,直线的一般式方程,考查函数与方程的思想,是中档题.