在△ABC中，sin2A+cos2B=1，则cosA+cosB+cosC的最大值为（ ）A. 54B. 2C. 1D. 32
问题描述：
在△ABC中，sin2A+cos2B=1，则cosA+cosB+cosC的最大值为（ ）
A.
5 4
B.
2
C. 1
D.
3 2
答
由sin2A+cos2B=1，得sin2A=sin2B，
∴A=B，又A+B+C=π，得C=π-A-B=π-2A
则cosA+cosB+cosC=2cosA-cos2A=-2cos2A+2cosA+1．
又0＜A＜
，0＜cosA＜1．π 2
∴cosA=
时，有最大值1 2
．3 2
故选D
答案解析：利用同角三角函数间的基本关系和已知得到B=A，根据三角形的内角和定理得到C=π-A-B=π-2A，把B和C代入到所求的式子中，利用诱导公式及二倍角的余弦公式化简可得一个关于cosA的二次函数，根据cosA的取值范围，利用二次函数求最值的方法得到原式的最大值．
考试点：三角函数中的恒等变换应用．
知识点：此题是把三角函数的化简和二次函数求最值的问题综合在一起的题，要求学生灵活运用三角函数的恒等变换化简求值．学生在求二次函数最大值的时候应考虑自变量的取值范围，判断其顶点能否取到．