已知函数f(x)=(ax2+x)-xlnx在[1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是______.

问题描述:

已知函数f(x)=(ax2+x)-xlnx在[1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是______.

求导函数可得:f′(x)=2ax-lnx
∵函数f(x)=(ax2+x)-xlnx在[1,+∞)上单调递增,
∴f′(x)=2ax-lnx≥0在[1,+∞)上恒成立
∴2a≥

lnx
x

令g(x)=
lnx
x
(x>0),则g′(x)=
1−lnx
x2

令g′(x)>0,可得0<x<e;令g′(x)<0,可得x>e;
∴函数在(0,e)上单调增,在(e,+∞)上单调减
∴x=e时,函数取得最大值
1
e

∴2a≥
1
e

a≥
1
2e

故答案为:[
1
2e
,+∞)

答案解析:求导函数,利用函数f(x)=(ax2+x)-xlnx在[1,+∞)上单调递增,可得f′(x)=2ax-lnx≥0在[1,+∞)上恒成立,分离参数,求出函数的最大值,即可求得实数a的取值范围.
考试点:利用导数研究函数的单调性.
知识点:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,解题的关键是正确运用导数求函数的单调性,利用分离参数法解决恒成立问题.