已知数列{An}前5项为 1,2,4,7,11.求通项公式

问题描述:

已知数列{An}前5项为 1,2,4,7,11.求通项公式

1=1
2=1+1
4=1+(1+2)
7=1+(1+2+3)
11=1+(1+2+3+4)
...
An=1+(1+2+……+n-1)
=1+n(n-1)/2

后项减前项得数列1,2,3,4,等差数列,通向为b(n)=n
a2=a1+b1
a3=a2+b2
a4=a3+b3
...
a(n)=a(n-1)+b(n-1)
等式左右两边通加,整理得
a(n)=a1+(b1+b2+b3+...+b(n-1))=1+(1+2+...+n)=1+n(n+1)/2

可以容易得到:An = A(n-1) + n-1
所以
An - A(n-1) = n - 1
A(n-1) - A(n-2) = n-2
.
A(2) - A(1) = 1
以上n-1个式子相加得:
An - A(1) = n(n-1)/2
所以An = 1 + n(n-1)/2