已知F1，F2是双曲线x2a2−y2b2＝1，(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点△ABF2是正三角形，那么双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 2C. 3D. 3
问题描述：
已知F1，F2是双曲线
−x2 a2
＝1，(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点△ABF2是正三角形，那么双曲线的离心率为（ ）y2 b2
A. 2
B.
2
C. 3
D.
3
答
由△ABF2是正三角形，可得∠AF2F1=30°
在Rt△AF1F2中，F1F2=2c
∴AF1＝
c，AF2＝2
3
3
c4
3
3
根据双曲线的定义可得，AF2−AF1＝2a＝
2
c
3
3
∴e＝
＝c a
3
故选D
答案解析：由△ABF2是正三角形，可得∠AF2F1=30°，从而在Rt△AF1F2中，由F1F2=2c可求AF1，AF2，再根据双曲线的定义可知AF2-AF1=2a可建立a，c之间的关系，根据公式e＝
可求c a
考试点：双曲线的简单性质．
知识点：本题主要考查了双曲线的定义的应用：AF2-AF1=2a，还考查了双曲线的离心率公式的应用，解题的关键是由△ABF2是正三角形得到∠AF2F1=30°．