方程f（x）=x的根称为f（x）的不动点，若函数f（x）=xa(x+2)有唯一不动点，且x1=1000，xn+1=1f( 1xn) （n∈N*），则x2011=______．
问题描述：
方程f（x）=x的根称为f（x）的不动点，若函数f（x）=
有唯一不动点，且x1=1000，xn+1=x a(x+2)
（n∈N*），则x2011=______． 1 f(
) 1 xn
答
由
=x得ax2+（2a-1）x=0．x a(x+2)
因为f（x）有唯一不动点，
所以2a-1=0，即a=
．1 2
所以f（x）=
．所以xn+1=2x x+2
=1 f(
) 1 xn
=xn+2xn+1 2
．1 2
所以x2011=x1+
×2010=1000+1 2
=2005．2010 2
故答案为：2005
答案解析：先根据
=x转化为二次方程，再由函数f（x）=x a(x+2)
有唯一不动点可求出a的值，然后代入确定函数f（x）的解析式，进而可得到xn+1、xn的关系，再由等差数列的通项公式可得到最后答案．x a(x+2)
考试点：数列递推式．
知识点：本题主要考查函数不动点的知识、考查数列的函数性质以及等差数列的通项公式的表示法．