方程f(x)=x的根称为f(x)的不动点,若函数f(x)=x/a(x+2)有唯一不动点,且x1=1000,xn+1=1/f( 1/xn) (n∈N*),则x2011=_.

问题描述:

方程f(x)=x的根称为f(x)的不动点,若函数f(x)=

x
a(x+2)
有唯一不动点,且x1=1000,xn+1=
1
f( 
1
xn
(n∈N*),则x2011=______.

x
a(x+2)
=x得ax2+(2a-1)x=0.
因为f(x)有唯一不动点,
所以2a-1=0,即a=
1
2

所以f(x)=
2x
x+2
.所以xn+1=
1
f( 
1
xn
=
2xn+1
2
=xn+
1
2

所以x2011=x1+
1
2
×2010=1000+
2010
2
=2005.
故答案为:2005