如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，AC⊥AB，延长CB至F，使BF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：△CAF为等腰三角形．

问题描述：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，AC⊥AB，延长CB至F，使BF=CD．

（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：△CAF为等腰三角形．

答

（1）∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB．
∵AD=DC，
∴∠DCA=∠DAC．
∴∠DCA=∠ACB=

∠DCB．
∵DC=AB，
∴∠DCB=∠ABC．
∴∠ACB=

∠ABC．
在△ACB中，∵AC⊥AB，
∴∠CAB=90°．
∴∠ACB+∠ABC=90°．
∴

∠ABC+∠ABC=90°．
∴∠ABC=60°．（3分）

（2）证明：连接DB，
∵在梯形ABCD中，AB=DC，
∴AC=DB．
在四边形DBFA中，DA∥BF，DA=DC=BF，
∴四边形DBFA是平行四边形．
∴DB=AF，
∴AC=AF．
即△ACF为等腰三角形．（6分）
答案解析：（1）在三角形中，等边对等角，再利用角的等量关系可知∠ACB=

∠ABC，在直角三角形中，两锐角互余就可求解．
（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形，连接DB，根据等腰梯形的性质及线段间的关系及平行的性质，可证得AC=AF．
考试点：梯形；等腰三角形的判定；平行四边形的性质．

知识点：本题主要考查等腰梯形的性质及等腰三角形的判定．