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已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．（1）求证：BG=FG；（2）若AD=DC=2，求AB的长．

分类: 作业答案 • 2023-01-13 11:19:02

问题描述：

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．
（1）求证：BG=FG；
（2）若AD=DC=2，求AB的长．

答

（1）证明：连接AG，
∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，
∴∠ABC=∠AFE．
在△ABC和△AFE中，

∠ABC＝∠AFE

∠EAF＝∠CAB

AC＝AE

∴△ABC≌△AFE（AAS），
∴AB=AF．
在Rt△ABG和Rt△AFG中，

AG＝AG

AB＝AF

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）．
∴BG=FG；
（2）∵AD=DC，DF⊥AC，
∴F为AC中点，

∵AC=AE，
∴AF=

1

2

AC=

1

2

AE．
∴∠E=30°．
∵∠EAD=90°，
∴∠ADE=60°，
∴∠FAD=∠E=30°，
∴AF=

3

．
∴AB=AF=

3

．