已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC. (1)求证:BG=FG; (2)若AD=DC=2,求AB的长.

问题描述:

已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC.
(1)求证:BG=FG;
(2)若AD=DC=2,求AB的长.

(1)证明:连接AG,
∵∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,
∴∠ABC=∠AFE.
在△ABC和△AFE中,

∠ABC=∠AFE
∠EAF=∠CAB
AC=AE

∴△ABC≌△AFE(AAS),
∴AB=AF.
在Rt△ABG和Rt△AFG中,
AG=AG
AB=AF

∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL).
∴BG=FG;
(2)∵AD=DC,DF⊥AC,
∴F为AC中点,
∵AC=AE,
∴AF=
1
2
AC=
1
2
AE.
∴∠E=30°.
∵∠EAD=90°,
∴∠ADE=60°,
∴∠FAD=∠E=30°,
∴AF=
3

∴AB=AF=
3