设f(X)具有2阶连续导数,且f(a)=0,g(x)=f(x)/x-a,x不等于a,g(x)=f'(a),x=a,求g'(x）并证明g(x)的一阶导数在x=a处连续!主要是x=a的 那个g'(x)=?然后就是 证明了!

当x不等于a时，g'(x)=(f'(x)(x-a)-f(x))/(x-a)^2.当x=a时，
(g(x)-g(a))/(x-a) = [f(x)/(x-a) - f'(a)]/(x-a)=[f(x)- f'(a)(x-a)]/(x-a)^2
因为当x趋于a时，limf(x)- f'(a)(x-a）=0，由罗比达法则：
g'(a)=lim(f(x)- f'(a)(x-a)]/(x-a)^=(f'(x)-f(a))/2(x-a)=f''(a)/2
另一方面：limg'(x)=lim(f'(x)(x-a)-f(x))/(x-a)^2,类似由罗比达法则：
limg'(x)=lim(f'(x)(x-a)-f(x))/(x-a)^2=lim(f''(x)(x-a)+f'(x)-f(x))/2(x-a)
=limf''(x)/2=f''(a)/2 (二阶导数连续，limf''(x)=f''(a))
所以：limg'(x)=f''(a)/2=g'(a)
即：g'(x)在a连续

当x≠a时
g'(x) = f'(x)/(x-a) - f(x)/(x-a)^2
（下面的极限全是x趋于a时的极限）
x=a时,
g'(a) = lim [g(x) - g(a)]/(x-a)
= lim [f(x)/(x-a) - f'(a)]/(x-a)
f(x)具有二阶连续导数,则f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + 0.5f''(x)(x-a)^2 + o((x-a)^2)
g'(a) = lim 0.5f''(a) + o((x-a)^2) = 0.5f''(a)
而lim g'(x) = lim f'(x)/(x-a) - f(x)/(x-a)^2 = lim [f'(x) - f'(a)]/(x-a) - 0.5f''(a) - o((x-a)^2)
= 0.5f''(a) = g'(a)
所以g(x)一阶导数在x=a处连续