设函数f(x),g(x)都在闭区间[a,b]上连续 `````大学高数设函数f(x),g(x)都在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且g(x)不等于0,f(a)g(b)=g(a)f(b).试证(a,b)内至少存在一点试证在(a,b)内至少存在一点ξ,使f `(ξ)g(ξ)=f(ξ)g`(ξ).
问题描述：
设函数f(x),g(x)都在闭区间[a,b]上连续 `````大学高数
设函数f(x),g(x)都在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且g(x)不等于0,f(a)g(b)=g(a)f(b).试证(a,b)内至少存在一点试证在(a,b)内至少存在一点ξ,使f `(ξ)g(ξ)=f(ξ)g`(ξ).
答
构建辅助函数F(x)=f(x)/g(x),由于函数f(x),g(x)都在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且g(x)不等于0，有F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导。
又由f(a)g(b)=g(a)f(b)可得F(a)=F(b)，满足罗尔定理全部条件
故在(a,b)内至少存在一点ξ使F`(ξ)=0，有[f `(ξ)g(ξ)-f(ξ)g`(ξ)]/[g(ξ)]^2=0,由于g(x)不为0
所以f `(ξ)g(ξ)-f(ξ)g`(ξ)=0命题得证
答
let
h(x) = f(x)/g(x),then h (x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导
h'(x)= {f(x)g'(x) - f'(x)g(x)}/ [g(x)]^2
f(a)g(b)=g(a)f(b).
=> f(a)/g(a) = f(b)/g(b)
=> h(a) = h(b)
存在ξ,∈(a,b),令到
h'(ξ,) =0
=>f `(ξ)g(ξ)-f(ξ)g`(ξ)=0
=>f `(ξ)g(ξ)=f(ξ)g`(ξ)..